√で表す値は一つ
0以上の数aについて、√aは、二乗するとaになる非負の数を表す。根号の外の負号と、二乗する範囲を区別しよう。
√361 = 19、−√361 = −19。 (−√19)² = 19、−(√19)² = −19。
平方根 — ルートを攻略せよ。
STAGE 02 / SQUARE ROOTS / 中3
根号の中、係数、符号を見抜こう。簡単化・乗除・有理化・加減を攻略する。
KEY POINTS
計算の7つのコツ
根号の範囲と、答えの形を確かめよう。
「平方根をすべて」では正と負をそろえる
正の数の平方根は正負の2つ。0の平方根は0一つだけ。「√の値」と「平方根をすべて」の答え方を分けよう。
169の平方根は13と−13。まとめて±13。 0の平方根は0。
根号内の平方因子を見つける
根号内を平方数と残りの数に分け、平方数の正の平方根を外へ出す。根号内に平方因子が残らない形まで進める。
√208 = √(16 × 13) = 4√13。
乗除は係数と根号をそれぞれ計算する
根号内が正なら、根号の積や商を一つの根号にまとめられる。乗除が続くときは左から順に計算する。
√26 × √39 = √1014 = 13√6。
有理化は分子と分母へ同じ根号を掛ける
単項の分母にある根号をなくすには、分子と分母へ同じ根号を掛ける。最後に係数と分数を簡単にする。
(5)/(2√3) = (5√3)/6。 分母は2√3 × √3 = 6。
加減は、先に根号を簡単にする
根号内を簡単にしてから、同じ根号の係数だけを加減する。異なる根号を一つにまとめない。
√112 − √63 = 4√7 − 3√7 = √7。
展開公式でも中間項を落とさない
和や差の平方には2倍の積がある。和と差の積は平方の差になる。各項を計算した後、同じ根号の項をまとめよう。
(√13 − 2)² = 13 − 4√13 + 4 = 17 − 4√13。
WATCH OUT
ここでつまずかない
√の値と、すべての平方根を分ける
√aが表す値は一つ。正の数aの平方根をすべて求める場合は正負の2つを答える。0の平方根は0だけ。
異なる根号を足して一つにしない
まず根号内を簡単にする。同じ根号の係数は加減できるが、異なる根号は別々の項として残す。
有理化では分子にも同じ根号を掛ける
分母だけを変えると分数の値が変わる。分子と分母へ同じ根号を掛けて、最後に約分しよう。
UNIT TEST / 単元テスト
平方根 単元テスト
100問から問題数・難易度・形式を選ぶ。回答後に解説を確認できます。
根号の値・全平方根16問、簡単化12問、乗除20問、有理化16問、加減20問、短い展開16問の計100問です。すべて4択で、分数は縦型で表示します。近似値や図形の応用は今回扱いません。