乗数をすべての項に掛ける
括弧の中のどの項にも、外の数と文字を掛ける。文字どうしの積と符号も確認する。
2x(3x − 4) = 2x × 3x − 2x × 4 = 6x² − 8x。
展開と因数分解 — 式を攻略せよ。
STAGE 01 / EXPANSION & FACTORIZATION / 中3
分配・公式・共通因数を使い分けよう。展開と因数分解で、式の形を見抜こう。
KEY POINTS
計算の8つのコツ
展開する方向と、積にまとめる方向を行き来しよう。
割り算は各項を同じ単項式で割る
多項式のすべての項を、同じ除数で割る。除数に文字があるときは、除数が0にならない条件を確かめる。
x ≠ 0 のとき (4x² − 6x) ÷ (2x) = (4x²) ÷ (2x) − (6x) ÷ (2x) = 2x − 3。
2つの括弧は4つの積を数える
前の項どうし・交差する2つの積・後ろの項どうしを落とさない。展開した後に同類項をまとめる。
(x + 4)(x − 7) = x² − 7x + 4x − 28 = x² − 3x − 28。
平方の中間項と、和と差の積を区別する
和や差の平方には中間項がある。和と差の積では、中間の2項が打ち消し合う。
(x − 6)² = x² − 12x + 36。 (x + 6)(x − 6) = x² − 36。 (x − 6)²をx² − 36にしない。
2数の和と積を両方確かめる
x² + sx + pを因数分解するときは、和がs・積がpとなる2数を探す。積が正なら同符号、負なら異符号になる。
x² + 10x + 21では、和10・積21となる3と7を使う。 x² + 10x + 21 = (x + 3)(x + 7)。
まず共通因数をくくり、残りも確認する
各項に共通する数や文字をくくる。括弧の中がさらに因数分解できるときは、そこで止めない。
2x² + 20x + 42 = 2(x² + 10x + 21) = 2(x + 3)(x + 7)。 因数分解した式を展開し、元の式に戻るか確認しよう。
平方差と完全平方は中間項で見分ける
平方の差は和と差の積へ、完全平方は同じ一次式の平方へ変える。平方の数の部分を、因子の中へそのまま入れない。
x² − 81 = (x + 9)(x − 9)。 x² − 18x + 81 = (x − 9)²。 後者の中間項は−2 × x × 9。
値を代入するときも符号と括弧を守る
負の値は括弧に入れて代入する。公式を使って式を短くしてから計算する方法もある。最終的な値を正確に求めよう。
x = −3 のとき、(x + 8)² = (−3 + 8)² = 5² = 25。
WATCH OUT
ここでつまずかない
平方の中間項を落とさない
(A + B)² は A² + 2AB + B²。A² + B² だけで終えない。差の平方でも、最後の平方は正になる。
引く括弧は、全項の符号を変える
まず積を展開してから、括弧の前の符号を各項へ反映する。同類項だけをまとめよう。
共通因数を先に確かめる
数と文字の共通因数をくくってから公式を使う。因数分解した式を展開し、元の式に戻るか確認しよう。
UNIT TEST / 単元テスト
式の展開と因数分解 単元テスト
100問から問題数・難易度・形式を選ぶ。回答後に解説を確認できます。
乗除・展開56問、因数分解40問、式の値4問の計100問です。すべて4択。分数は縦型で表示します。証明や複雑な高次式は扱いません。