解は、式を成り立たせるxの値
二次方程式を解くときは、もとの等式を成り立たせる実数の値をすべて求める。±は、＋と−の両方をまとめる記号。同じ値になる場合は一つだけ答える。
x² = 169 の解は x = ±13。 x² = 0 の解は x = 0 一つ。
二次方程式 — 解を攻略せよ。
STAGE 03 / QUADRATIC EQUATIONS / 中3
平方根・因数分解・平方完成・解の公式を使い、すべての実数解を求めよう。
KEY POINTS
計算の7つのコツ
もとの式と、答えた解の値を確かめよう。
x²だけにしてから平方根を取る
x²に係数がついているときは、まず両辺をその係数で割る。正の数の平方根は正負の2つあるので、片方を落とさない。
4x² = 52 x² = 13 から、x = ±√13。
括弧の平方は、括弧全体の値を求める
平方の形では、まず括弧全体を一つの数と考えて平方根を取る。その後、括弧内の定数を移項する。
(x − 7)² = 17 x − 7 = ±√17 x = 7 ± √17。
積を0にして、各因子を0とする
片方の辺を0にして因数分解する。積が0なら、少なくとも一方の因子が0になるので、それぞれの一次方程式を解く。
x² + 6x − 55 = 0 (x + 11)(x − 5) = 0 x = −11, 5。
0の解や、解が一つの場合に注意する
両辺をxで割ると、x = 0を見落とすことがある。因数分解して各因子を0にしよう。同じ一次因子が二つある場合、解の値は一つ。
x(x − 14) = 0 の解は x = 0, 14。 (x + 12)² = 0 の解は x = −12 一つ。
平方完成は、係数の半分の二乗を両辺に足す
x²の係数を1にした後、一次項の係数の半分を求め、その二乗を両辺に足す。左辺が括弧の平方になったら平方根を取る。
x² − 10x + 6 = 0 x² − 10x = −6 x² − 10x + 25 = 19 (x − 5)² = 19 から、x = 5 ± √19。
解の公式では、符号と分母2aを確かめる
ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）の形にそろえる。実数の解があるときは、解の公式を使い、根号と分数を簡単にする。−bの符号、4ac、分母の2aを一つずつ確認する。
x = {−b ± √(b² − 4ac)}/(2a) 2x² + 3x − 6 = 0 では、a = 2、b = 3、c = −6。 b² − 4ac = 9 + 48 = 57、2a = 4。 x = (−3 ± √57)/4。
WATCH OUT
ここでつまずかない
片方の解や、0を落とさない
平方根を取ったら正負の両方を考える。xを因子にもつときは、xで割って0の解を失わないようにしよう。
移項する符号と、平方完成の半分を確かめる
移項では定数の符号が変わる。平方完成では一次項の係数の半分を使い、その二乗を両辺に足そう。
公式では−b・4ac・2aを確認する
すべて左辺に移し、右辺を0にしてa・b・cを読み取る。根号と分数を簡単にし、解の値をそろえよう。
UNIT TEST / 単元テスト
二次方程式 単元テスト
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平方の形24問、因数分解28問、平方完成20問、解の公式28問の計100問です。すべて4択で、実数解をすべて求めた答えを選びます。分数は縦型で表示します。文章題や図形の応用は今回扱いません。